发现问题和提出问题有什么不同?
从“双基”到“四基”。传统的数学教育重视的是“双基”，即基础知识和基本技能，要求基础知识扎实，基本技能熟练；与此对应，培养的是两个能力：分析问题的能力和解决问题的能力。毋庸置疑，重视“双基”的教育对我国基础教育的贡献是巨大的。
重视“双基”的教育与传统的“以知识为本”的教育理念是相适应的，但随着社会的发展，教育理念也在不断的更新。现代社会的基本理念不是“以物为本”而是“以人为本”，这种新的理念落实在教育上就是：以学生发展为本。这种新的教育理念强调培养学生的基本素质，强调培养学生的社会责任感、创新精神和实践能力。为了与这种教育理念相对应，在修改《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程总体目标时，在传统的”双基“的基础上又增加了两基：基本思想和基本活动经验，这样课程目标就由“双基”变成“四基”。与此同时，在原有两个能力的基础上又增加了两个能力：发现问题的能力和提出问题的能力。现在的问题是，在数学教学的过程中，发现问题与提出问题有什么不同吗？
发现问题的前提是勤于思考、敢于质疑，因此与培养学生的创新意识关系密切；提出问题则要求能用数学的语言阐明问题，因此与培养学生的创新能力关系密切。进一步，提出问题可以跟为两个层次：一个层次是用语言表述，另一个层次是用符号表达。可以看出，无论是发现问题的能力培养，还是提出问题的能力培养，都是我国现行教育的薄弱环节，这个环节的却是对培养创新型人才的影响是重大的，因此，加强这样的教育应当是我国未来基础教育改革的重点。
下面，我们举例说明发现问题和提出问题的区别，在说明的过程中探讨在数学教学中应当如何培养这两种能力。
代数的例子。我们讨论《义务教育数学课程标准（2011年版）》中给出的两个例子，这两个例子是前后照应的。
例28 利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。
例50 利用公示证明例28所发现的运算规律。
可以看到，里28强调的是发现问题。虽然例50说的是证明问题，但没有明确说出所要证明的问题，即运算规律是什么，因此这个例子在本质上强调的是提出问题。通过下面的讨论可以看到，对于许多问题，如果能够明确的提出问题，就意味着已经有了解决问题的思路。
因为在上面的例子中，乘数和被乘数是一样的，因此无论是发现问题还是提出问题，探讨的都是乘数与乘积之间的关系。归纳推理是发现问题以及发现规律的有效途径，而操作过程最好是一步一步的循序渐进。这样，我们就可以从小到大、以此表达乘数与乘积之间的关系：15×15=225，25×25=625，35×35=1225，…。
通过对上面数学表达的分析，学生可以感悟到其中是存在规律的。因此教学的重点是引导学生如何用语言表述这个规律。很明显，上面计算得到的乘积是一个三位数或者四位数的规律。其中个位数的十位数都是25，而百位数和千位数存在这样的规律：1×2=2，2×3=6，3×4=12，…。这样，学生通过试用语言来表述这个规律，这就是发现问题的过程，但还没有实现提出问题。
在发现问题的基础上，应当如何提出问题呢？我们前面谈到，提出问题可以分为两个层次。通过下面的讨论可以看到，在教学过程中可以跳过第一个层次，即语言表述的层次，直接进入第二个层次，即符号表达的层次。但在思维的过程中，第一个层次是不可逾越的。
语言表述直接来源于发现问题。在发现问题的基础上，需要进一步引导学生表述出一个结论性的东西，这个结论性的东西就是人们通常所说的数学命题。比如对于上面讨论过的问题，可以表述出这样的结论：个位数是5的两位数的平方是一个三位数或者四位数，其中后两位是25、百位或者千位是乘数的十位数与这个数加1的乘积。可以看到，语言层次的表述往往是很困难的，因此在教学过程中不可能要求学生用语言表达得非常准确，甚至可以越过这个环节。但是，在人的思维过程中，这样思考的环节是不可缺少的，因为思维必然要经历一个从混沌到清晰的过程。事实上，只有利用符号才能摆脱用语言表达的困境，使得结论的表述清晰明了，这也体现了符号表达的重要性。
符号表达是数学表述的重要形式。对于上面讨论的问题，如果用a表示乘数的十位数，这个两位数就可以一般表示为a×10＋5.那么，就可以把语言表述的结论用符号表示为
（a×10+5）2=a×(a+1)×100+25
这样，就用符号表达了一个公式，这就是一个提出问题的过程。可以看到，用符号表达可以使问题非常清楚。因为这是一个通过归纳推理提出的问题，因此得到的结论不一定是正确的，结论的正确与否还需要通过演绎推理进行验证。但无论如何，得到结论的过程是非常重要的，一旦用符号表达了结论，就明确了证明问题的方向。对于上面的问题，我们很容易验证公式是正确的。
在上面公式的基础上，还可以把结论进一步扩充，而扩充的过程往往不需要经过具体数值计算的尝试，只需要进行形式化的扩充。比如，把上面的问题扩充到不是平方、而是十位数差1的情况，通过上面的公式可以形式化的考虑这样的问题：（a×10+5）｛（a+1)×10+5｝=?当然，还可以把结论扩充到三位数的情况等。
几何的例子。几何的问题看起来简单，但要叙述清楚却很困难，这是因为几何的问题很难用符号直接表述，往往需要借助代数的工具。考虑下面的问题：直线上的任何一个点都能把直线分成两个部分。
在教师的引导下，通过画图等实际操作，学生能够发现上面所说的问题，甚至能够用语言表述这个问题：点的右边为一部分，点的左边为一部分。可是，应当如何用数学符号明确的提出问题呢？
符号表达的第一步是表示出直线上的点。为了表示直线上的点，就必须建立数轴，即在直线上定义方向、原点和单位：确定数轴的原点是为了表示数的大小关系；确定数轴的原点是为了用点到原点的距离来表示数；确定单位是为了度量距离。这样，借助数轴就可以把直线上的点与实数一一对应，当然，这样的对应只是一种数学的想象。
然后根据由特殊到一般的原则，先考虑具体的数值计算，即把直线上的某一个点转化为数，比如2,。因为已经把直线上的点与数一一对应起来了，因此可以有两种形式把直线分为两部分：“小于2的数”为一部分，“大于等于2的数”为一部分；或者，“小于等于2的数”为一部分和“大于2的数”为一部分。因为对于其他具体的店都可以这样处理，因此可以用字母a来代替2或者其他具体的数值，一般性的表达问题。更为一般的，可以用集合表示划分后的两个部分：A=｛x;x≦a｝和B=｛x;x＞a｝；或者B=｛x;x﹤a｝和B=｛x;x≧a｝。通过上面的表示和论证过程可以看到，在许多情况下，用代数的方法处理几何问题，可以使表达更加清晰，逻辑更有条理；反过来，用几何的方法来分析代数问题，可以提供问题的直观，有利于理清解决问题的思路。
上面的问题可以进一步扩充：一条直线可以把平面分为两个部分；一个平面可以把空间分为两个部分等。进一步，还可以考虑更加复杂的几何问题，比如下面的问题：如果多边形的周长给定，什么形状的多边形面积最大？
这个问题对小学生似乎是困难的，但只要学习了面积的计算方法，通过具体的数值计算，还是能够猜想出结果的。特别是，通过对这样问题的探索，能够让小学生感悟“对称”对于数学乃至对与自然界的重要性，让小学生感悟数学的美。因为探索需要较多的计算和想象，因此，这样的内容可以安排在小学高年级“综合与实践”的课程中。
探索的过程还是遵照循序渐进的原则，即从简单的情况开始思考。首先探索三角形的情况，通过计算容易知道，三角形的三个边长之和一定时，三角形的形状不同面积的大小是不一样的，这是一个发现问题的过程。进一步，可以用语言提出问题：周长一定时，是不是存在一个最大面积的三角形？这个三角形的形状是什么样的？
对于这个问题，小学生可以通过数值计算的办法探索规律，然后进行推断。把三角形的三个边长分别表示为a,b,c,用p表示周长的一半：p=(a+b+c)/2,用s表示这个三角形的面积，则由海伦公式知道面积的平方可以表示为s2=p(p-a)(p-b)(p-c)。因此，当p保持不变的条件下，引导学生变换三角形的边长a,b,c的大小，然后利用上面的公式计算面积，可以推断：当a=b=c时，三角形的面积达到最大。这就是一个利用数值计算，通过归纳推理探索规律的过程。因为等边三角形是一个“对称”的图形，可以让学生感悟到，这种不偏不倚的情况能够使三角形的面积达到最大。
探索四边形的情况，还是从最简单的情况入手：从矩形开始计算；通过具体数值计算的结果推断：周长给定的矩形中，正方形的面积最大。然后把这个结论推广到一般的四边形。
进而，猜想五边形时正五边形面积最大，猜想一般n边形时正n边形的面积最大。遵循这个思路想下去，可以最终猜想：对于任意图性，圆的面积最大。在这个逐渐深入猜想的过程中，让学生感悟数学对称的美，感悟圆是最对称的，因而是最和谐的。
这就是一个完满的提出问题的过程。虽然对于小学生来说，证明这些结论是困难的，但也可以给学生们留下一些进一步学习数学的概念，感悟发现问题和提出问题的魅力。
要鼓励学生自己得到一般性结论，并且用数学的语言、数学的符号来表达一般性的结论，哪怕是很简单的问题。让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，是帮助学生积累思维经验和实践经验的有效方法，这应当是未来数学教育改革的重点。
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