问题描述：
| 如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。 |
| （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ |
最佳答案：
| （1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x， ∴ ， 解得1<x<2； （2）①若AC为斜边，则1=x 2 +（3-x） 2 ，即x 2 -3x+4=0，无解； ②若AB为斜边，则x 2 =（3-x） 2 +1，解得x= ， 满足1<x<2； ③若BC为斜边，则（3-x） 2 =1+x 2 ，解得x= ，满足1<x<2， ∴x= 或x= ； （3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD=h，△ABC的面积为S，则S= xh， ①如图甲所示，若点D在线段AB上， 则 ， ∴（3-x） 2 -h 2 =x 2 -2x +1-h 2 ，即x =3x-4， ∴x 2 （1-h 2 ）=9x 2 -24x+16，即x 2 h 2 =-8x 2 +24x-16， ∴S 2 = x 2 h 2 =-2x 2 +6x-4=-2 ， 当x= 时（满足 ≤x<2），S 2 取最大值 ，从而S取最大值 ， ②如图乙所示，若点D在线段MA上，则 ， 同理可得，S 2 = =-2x 2 +6x-4=-2（x- ） 2 + ， 易知此时S< ， 综合①②得，△ABC的最大面积为 。 | |