说明
近来有不少同学询问形成性考核册的习题解答，现做了部分练习刊于此，供同学们参考．
为了使同学们真正掌握其实质，题目尽量做细些，力争多一些方法，引起同学们的兴趣，自己努力去创造．只给了一种解法，也并非就是惟一的方法．
欢迎同学们交流．
电大文库【计算机数学基础(2)】形成性考核册答案
注：本答案仅供参考，如有错误敬请指正
来源：【电大文库】http://www.diandawenku.com/
电大文库【计算机数学基础(2)】形考作业一：
一、单项选择题
1. 数值x*的近似值x，那么按定义x的相对误差是( )．
答案：A．
解答：由相对误差的定义，相对误差等于绝对误差e除以精确值x*，绝对误差为e=x－x*，所以选项A正确．
2. 当一个数x表成时，其中a1,a2,...,an是0～9之中的自然数，且a1?0，，则称x有( )位有效数字．
A. m B. m－l C. n D. l
答案：D．
解答：根据有效数字的定义(第9章9.1节定义3)中的式(1.4)和(1.5)可知，选项D是正确的．
3. 设x=37.134678,取5位有效数字，x?( )．
A. 37.1347 B. 37.13468 C. 37.135 D. 37.13467
答案：C．
解答：根据有效数字的定义，该数准确到第五位是37.134，但第六位是"6"，按照四舍五入的原则，应进上"1"，故正确答案是37135．故正确选项C正确．
4.用顺序消去法解线性方程组，消元过程中要求( )?0．
A.aij?0 B. C. D.
答案：C．
解答：高斯消元法在消元过程中，为了将主元以下该列的所有元素都化为0，就要选主元作为除数进行运算，0是不能作除数的，故要求．所以选项C正确．
5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k步，选主元，使得＝( )．
A. B. C. D.
答案：B．
解答：第k－1次消元完成后的方程是
在做第k次消元之前，先在中选主元，也就是它们中绝对值最大的，即行标从k到n，故选项B正确．
二、填空题
1. 如果近似值x的误差限?是它某一个数位的 单位，我们就说x准确到该位．
答案：半个
解答：请看第9章9.1节有关有效数字的定义3．
2 . 用刻度的米尺测量一长度为x*的物体，测得近似值为x，那么x与x*之差的误差限是 ．
答案：0.5．
解答：从刻度的米尺上可以直接读出""是准确的，估计值是的十分之几．所以绝对误差限不超过0.5．
4. 在运算过程中 的算法称为数值稳定的算法
答案：舍入误差不增加．
5. 数值计算中，普遍应注意的原则是 ， ， ， ， ．
答案：使用数值稳定的算法；防止两个相近数相减；简化计算步骤，减少运算次数；避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；防止大数"吃掉"小数．
6. 当线性方程组AX=b满足条件 时，用消去法求解可以不必选主元.
答案：矩阵A是严格对角占优矩阵．
7. 用迭代法求线性方程组AX＝b的数值解，就是将方程组AX＝b变形为同解的方程组 ，然后构造一个迭代格式 ，从某一个初始向量X(0)出发逐次迭代求解．
答案：X=BX+f；X(k+1)=BX(k)+f．
8. 用迭代法求线性方程组AX=b的数值解，要求矩阵A中的元素aii ，就可以建立雅可比迭代格式．
答案：?0．
三、计算题
1. 表中各x的值都是精确值x*进行四舍五入得到的近似值，试分别指出其绝对误差限、相对误差限和有效数字位数，并填入表中.
x绝对误差限相对误差限有效数字位数 0.3012 30.12 30.120 301200.3012×105 解
0.000 05 0.017% 四位有效数字
0.005 0.017％ 四位有效数字
0.0005 0.0017％ 五位有效数字 0.5 0.0017% 五位有效数字
0.00005×105 0.017% 四位有效数字
说明：最后一个数，所给x是浮点形式的数，回答也应是浮点形式的数．
3. 正方形的一边长约100，问测量边长时允许绝对误差为多大，才能保证面积的绝对误差不超过12?.
解 设正方形的边长为x()，面积为S，则S=x2．
已知?(S)?12，由乘积的误差传递公式
?1
所以 ＝0.005()．
允许测量边长的误差不超过0.005()．
5. 用列主元消去法解线性方程组
解
系数矩阵已是上三角矩阵，消元结束．回代求解．
原方程的解为．
6. 用列主元消去法求解线性方程组
解 ?
?? 系数矩阵已是上三角矩阵，消元结束．回代求解．
原方程的解为．
7. 用雅可比迭代法求解线性方程组
解 首先写出迭代格式
取初始值X(0)=(0,0,0)，将初始值X0代入，得到X(1)=(3,3,3)．
当k=1时，得
于是得到X(2)=(2.625,2.1818,0.75)．
当k=2时，有
于是得到X(3)=(3.0852,2.1136,1.1421)．
依照迭代格式，可以继续得到
X(4)=(2.9787,1.9819,0.9290),...
8. 用高斯?赛德尔迭代法求解下列线性方程组
解 迭代格式为
，k=0,1,2,...
取初始值X(0)=(0,0,0)．
k=0，．
，
，
得到X(1)= (0.3,1.56,2.684)．
用类似于k=0的方法，得到
k=1时，有
X(1)=(0.8804,1.94448,2.95387)．
k=2时，有
X(2)=(0.948283,1.99224,2.99375)．
k=3时，有
X(3)=(0.9978,1.9999,2.999)．
四、证明题
1. 设线性线性方程组
试证明用雅可比迭代法求解收敛，而用高斯－赛德尔迭代法求解发散．
证明 线性方程组的系数矩阵为
A＝
于是， D＝，D－1＝D，＝，＝
雅可比迭代矩阵为
B0＝－＝－
＝
得到矩阵B0的特征根，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛．
高斯－赛德尔迭代矩阵为
G＝－
＝－
＝
解得特征根为?1=0，?2,3=2.由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散．
电大文库【计算机数学基础(2)】形考作业二：
一、单项选择题
1. 通过点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)所作的插值多项式是( )．
A.二次的 B. 一次的 C. 不超过二次的 D. 大于二次的
答案：C．
解答：一般地，通过三个不同点的多项式是二次多项式(抛物线)，但是三个点正好在一条直线上，只能作出一条直线(一次或0次多项式)，如过点(1,3),(3,7),(7,15)，只能作出一条直线y=2x+1；又如过点(1,6),(5,6),(3,6)，只能作出一条平行于x轴的直线y=6(0次多项式)．
可见过三点的插值多项式只能是不超过二次的多项式．选项C正确．
2. 函数f(x)在节点x3,x4,x5处的二阶均差f(x3,x4,x5)1( )．
A. f(x5,x4,x3) B.
C. D.
答案：B．
解答：由均差的基本性质2，均差与节点的顺序无关，可知f(x5,x4,x3)=f(x1,x2,x3)；
正是过点x3,x5的一阶均差，不等于二阶均差f(x3,x4,x5)．故选择B正确．
．
x0251 y36－90则f(2,1)=( )．
A. 6 B. C. －3 D. －5
答案：A．
解答：依据均差的定义
故选项A正确．
4. 记P(x)是在区间[a,b]上的y=f(x)的分段线性插值函数. 以下条件中不是P(x)必须满足的条件为( )．
A. P(x)在[a,b]上连续 B. P(xk)=yk
C. P(x)在[a,b]上可导 D. P(x)在各子区间上是线性函数
答案：C．
解答：请见教材第11章11.3节分段线性插值函数的特点，要求具有(1) P(x)在[a,b]上连续；(2) P(xk)=yk；(3) P(x)在各子区间上是线性函数．并不要求P(x)在[a,b]上可导．故选选项C正确．
5.用最小二乘法求数据(xk,yk) (k=1,2,...,n)的拟合直线，拟合直线的两个参数a0,a1使得( )为最小. 其中．
A. B. C. D.
答案：B．
解答：因为yk是实测值，具有随机性，它与回归直线上的值有关系式
n个点的误差项的平方和为
它正是a0,a1的函数，求上式的最小值．故选项B正确．
二、填空题
1. 通过三点(xi,yi)(i=0,1,2)的插值基函数公式是l0= , l1= ,l2= ．
答案：．
解答：请见教材第11章第11.1节公式(1.5)～(1.7)，取k=1，即得答案公式．
3. 用最小二乘法求数据(xk,yk) (k=1,2,...,n)的拟合曲线y=， 求系数a,b,需将数据(xk,yk) (k=1,2,...,n)变换成 ．
答案：(,yk)(k=1,2,...,n)．
解答：将自变量取对数后，变换为x￠k=，拟合曲线y=变换为y=a+bx￠，于是，y与x￠就是线性关系．用最小二乘法求a和b．
三、计算题
2. 对于下面的数据，写出它的拉格朗日插值多项式．
xk1346 yk－75814 解 先写插值基函数．x0=1，y0=－7，x1=3，y1=5，x2=4，y2=8，x3=6，y3=14．
所求插值多项式为
P3(x)=+++
=+
++
=
3.已知x=1,2,3,4时,函数值分别为f(x)=0,－5,－6,3. 作f(x)的均差表.
解 列均差表同第4题．本题结果为
f(x0,x1)=-5,f(x1,x2)=-1,f(x2,x3)=9; f(x0,x1,x2)=2,f(x1,x2,x3)=5,
f(x0,x1,x2,x3)=1
4. .对于如下数据
01234 14154085试求牛顿插值多项式.
解 作均差表
序号一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差 001 1143 2215114 33402571 4485451010 由均差写出牛顿插值多项式：
N(x)=1+3x+4x(x－1)+x(x－1)(x－2)
=1+3x+4x2－4x+x3－3x2+2x
=x3+x2+x+1
x－1037f(x)2047试用分段线性插值法计算f(2)的近似值.
解 先求分段线性插值基函数，公式见教材第11章11.3节公式(1.3)．有
x0=－1，y0=2，x1=0，y1=0，x2=3，y2=4，x3=7，y3=7．
所求分段线性函数为
P1(x)=y0l0(x)+y1(x)l1(x)+y2(x)l2(x)+y3(x)l3(x)=2l0(x)+0y1(x)+4l2(x)+7l3(x)
=
所以，f(2)．
6. 已知数据如下
Pk23456810121416yk152025303545608080110试求y对p的拟合直线.
解 计算过程列在表中．
Pkyk12153042320609342510016453015025563521036684536064710606001008128096014491480112019610161101760256S805005350850 列出法方程组
解得
所求回归直线方程为
y=6.4288P－1.4288
7. 已知数据如下
xk0.781.562.343.123.81yk2.501.201.122.254.28试用二次多项式拟合该组数据.
解 计算过程列在表中．
10.782.500.80840.4745520.370150561.951.52121.561.202.43363.7964165.922408961.8722.9203232.341.125.475612.81294429.982195362.62086.13267243.122.259.734430.37132894.758543367.020021.902453.814.2814.510155.306341210.717159216.306862.128908S11.6111.3532.7681102.761541341.7504629.769694.6053 法方程组为
解得a1=－4.01389，a2=1.00226，a0=5.01271．
所求二次多项式为: y=5.01271－4.01389x2+1.00226x2．
四、证明题
1. 试证明均差有下列性质:
(1) 若F(x)=cf(x), 则F(x0,x1,x2,...,xn)= cf(x0,x1,x2,...,xn)
(3) 设,则f(x0,x1,x2,...,xn)=
证明 (1) 由均差得性质1，有
F(x0,x1,x2,...,xn)=
＝
＝
＝cf(x0,x1,x2,...,xn)
(3) 计算各阶均差：
一阶均差：f(x0,x1)=
二阶均差：f(x0,x1,x2)=
=
不难计算三阶均差为：f(x0,x1,x2,x3)=
... ... ... ... ... ... ...
n阶均差为：f(x0,x1,x2,...,xn)= (*)
用数学归纳法证明．
当n＝1时，由前面的计算知，(*)式成立．
假设当n=k时，(*)式成立，即
f(x0,x1,x2,...,xk)=
那么当n=k+1时，有
f(x0,x1,x2,...,xk+1)=
＝[ －]
=
可见，当n=k+1式，(*)式成立．即对一切大于0的自然数，(*)式成立．
2. 已知函数y=f(x)，是n+1个不同节点．试利用拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式最高次幂的系数证明
其中是n阶均差，
证明 方法1．函数y=f(x)在节点x0,x1,...,xn处的拉格朗日插值多项式为
其中lk(x)是插值基函数：
y=f(x)的牛顿插值多项式为
＋
Pn(x)和Nn(x)都是在相同n+1个不同节点上的多项式，它们应该是相同的多项式，对应的各次幂的系数应该相同．
Pn(x)的最高次幂(即xn)的系数为
Nn(x)的最高次幂(即xn)的系数为
所以有
方法2．
求w￠n+1(x)在各节点处的值．
... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...
拉格朗日插值多项式中插值基函数
=(k=0,1,2,...,n)
由均差的性质1，得到
电大文库【计算机数学基础(2)】形考作业三：
一、单项选择题
1. 求积公式在[－1,1]上是( )次代数精度的．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
答案：A．
解答：详细判断过程同"四、证明题：1"．
2. 对于( )次的代数多项式,求积公式
精确成立,称具有m次代数精度的.
A． m B． 不超过m C． 小于m D． 大于m
答案：B．
解答：见教材第12章12.1节关于m次代数精度的定义1．
3. 当n=4时,复化抛物线求积公式( )．
A．[f(x0)+ f(x1)+ f(x2)+ f(x3)+ f(x4)]
B． [f(x0)+4( f(x1)+ f(x3))+2f(x2)+ f(x4)]
C． [f(x0)+2(f(x1)+ f(x2)+ f(x3)]+ f(x4)]
D． [f(x0)+2(f(x1)+ f(x3))+4f(x2)+ f(x4)]
答案：B．
解答：牛顿－科茨求积公式的所有系数之和等于积分的区间长度．以此检查各个选项，只有选项B正确．
4. 已知x=0,1处的函数值f(0)和f(1),那么f?(1)?( )．
A．f(0)－f(1) B． C． f(0) D．
答案：B．
解答：见教材第12章12.4节等距节点两点求导公式(4.4)．
二、填空题
1.科茨系数具有性质 和 ．
答案：＝1；．
解答：见教材关于科茨系数的两条性质，＝1称为归一性．与a，b无关，(称为对称性)．
4. 已知f(x0)=y0, f(x1)=y1, f(x2)=y2,用三点求导公式,有
f?(x0)= , f?(x1)= , f?(x2)= ,
答案：
解答：见教材第12章12.4节等距节点三点求导公式(4.6)．
三、计算题
1. 分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分的近似值．
解 将积分区间四等分，并计算函数值如下表．
00.250.50.75111.28401.64872.11702.7183 用梯形求积公式：有
用复化梯形求积公式，．有
?
用抛物线求积公式，h＝0.5，则有
用复化抛物线求积公式化，h=0.25，则有
用科茨求积公式，有
精确解＝?2.71828
2. 用两点高斯求积公式计算积分．
解 因为这不是[－1，1]区间上的积分计算，因此需作变换，令
，则u=2x－1．当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．有
＝
两个节点，查表得到高斯点x0,1=?0.5773502692，系数A0,1=1．代入公式
＝
＝(1.022085221+1.273580962)=1.147833092
说明：(1) ＝
+
是不对的．
这时因为作变换后，函数y=在[－1,1]上并不对称，按对称计算不对．
（2） 事实上：
＝
4. 将区间[0,1]分成8等分,分别用复化梯形法和复化抛物线公式计算积分
解 被积函数f(x)=，将积分区间8等分，分点以及函数值列下表：
00.1250.250.3750.50.6250.750.8751y=11.00781.03081.06801.11801.17931.251.32881.4142 用复化梯形求积公式，h=0.125，有
用复化抛物线求积公式，h=0.125，有
5. 已知数据
1.82.02.22.42.6 3.120144.425696.042418.0301410.46675试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分
解 由题设可知，步长h=0.2，用复化梯形公式，
+2×(4.42569+6.04241+8.03014)]
==5.05834
复化抛物线公式，
+4×(4.42569+8.03014)+2×6.04241]
==5.03300
科茨公式，
+32×(4.42569+8.03014)+12×6.04241]
==5.03292
四、证明题
1.验证科茨求积公式
具有5次代数精度，其中
证明 ,x4=b．
当f(x)=1时，(*)式左边＝b－a,
(*)式右边＝＝左边
当f(x)=x时，(*)式左边＝
(*)式右边＝
＝＝左边
当f(x)=x2时，(*)式左边＝
(*)式右边＝
＝＝左边
当f(x)=x3时，(*)式左边＝
(*)式右边＝
＝＝左边
可以验证，当f(x)=x4，x5时，均有(*)式的左边＝(*)式的右边，而当f(x)＝x6时，(*)式的左边?(*)式的右边．
故原求积公式具有5次代数精度．
5. 证明求积公式对于函数f(x)和g(x)精确成立, 则对于函数?f(x)+?g(x) (?,?是常数)也精确成立.
证明 设求积公式
(*)
对f(x),g(x)精确成立，有
，
以上两式分别乘?,?，再相加，得到
+＝+
=
因为
＝+＝
所以，求积公式对也精确成立．
电大文库【计算机数学基础(2)】形考作业四：
一、单项选择题
1. 二分法求方程f（x）=0在区间[a，b]内的根,二分次数n（ ）．
A. 只与函数f(x)有关 B.只与根的分离区间的长度以及误差限有关
C. 与根的分离区间长度、误差限以及函数f（x）都有关
D. 只与误差限有关
答案：B．
解答：由二分有根区间次数公式
可知，n只与有根分离区间长度b－a、误差限?有关．故选项B正确．
4.弦截法是通过曲线上的点(xk－1,f(xk－1))和(xk，f(xk))的直线与( )的交点的横坐标作为方程f(x)=0的近似根．
A. y轴 B.y=x C. y=?(x) D. x轴
答案：D．
解答：弦截法是通过曲线上的点(xk－1,f(xk－1))和(xk,f(xk))的直线与x轴的交点的横坐标作为方程f(x)=0的近似解．故选项D正确．
5. 解初值问题近似解的梯形公式是yk+1?( )．
A. B.
C. D.
答案：A．
解答：初值问题的数值解时由x=xk处的近似值去求x=xk+1处的近似值，对初值问题的方程两边积分得到
用梯形求积公式得到
用近似值替代y(xk)，y(xk+1)，有梯形公式
故选项A正确．
6. 改进欧拉法的校正值公式 ．
A.yk+1, B.yk C. D.
答案：D．
解答：改进的欧拉法是在梯形公式
yk+1＝
基础之上，将梯形公式中未知的yk+1用预报值替换，故选项D正确．
7. 四阶龙格?库塔法的计算公式是yk+1=( )
A. B.
C. D.
答案：B．
解答：一阶常微分方程初值问题数值解的基本公式是欧拉公式
yk+1?
就是yk的值加上h倍的某个斜率．欧拉公式是yk的值加上h倍的(xk,yk)点处的斜率．而四阶龙格－库塔法就是yk的值加上h倍的区间[xk,xk+1]上某四个点的曲线上点处的斜率加权平均．因为?1，?2，?3，?4都是斜率，因此它们的系数之和应为1．选项B和D，?1，?2，?3，?4的系数之和都为1．都有可能是四阶龙格－库塔法的公式．但是系数比为1：2：2：1才是常用的四阶龙格－库塔法公式．故选项B正确．
二、填空题
1. 用二分法求方程f（x）=0在区间[a，b]内的根，误差限为?>0．那么二分次数n+1的估计计算公式是n+1? ．
答案：．
解答：请见第13章13.1节二分次数公式(1.3)的推导．
2. 求方程f(x)=0的近似根，只有能把方程表成同解的方程 ，才可以用简单迭代法求解．
答案：x=?(x)．
解答：请见第13章13.2节简单迭代法的推导．
3. 用牛顿法求方程的近似根的迭代公式是xn= ，要求满足的条件是 ．
答案： (n=1,2,...)；．
解答：请见第13章13.3节牛顿法迭代公式(3.2)的推导．
4. 弦截法求方程f（x）=0的近似根的迭代公式是 ．
答案：．
解答：请见第13章13.4节弦截法迭代公式(4.2)的推导．
5. 改进欧拉公式预报值 ．
答案：．
解答：改进欧拉法的预报－校正公式的预报公式就是欧拉公式．
6. .四阶龙格?库塔法的局部截断误差是 ．
答案：O(h5)．
三、计算题
1. 用二分法求方程x5－x－2=0之近似根(精确到0.01)：
解 f(x)=x5—x—2．
易得f(0)=－2<0，f(1)=－2<0，f(1.5)?4.09>0．f(1)f(1.5)<0，区间[1，1.5]是一个有根区间．误差项?=0.01，求区间[1，1.5]内的方程f(x)=0的根，需要二分有根区间次数为
取n=5．计算列在下表中．
nanbnxnf(xn) 011.51.25－ 11.251.51.375+ 21.251.3751.3125+ 31.251.31251.28125+ 41.251.281251.265625－ 51.2656251.281251.2734375+ 61.2656251.27343751.26953125 取x*?1.2695．
3. 用牛顿法求方程x－=0.5的根．使其精确到0.000001．
解 f(x)=x－－0.5，
容易验算f(0)=－0.5<0，f(1)=1——0.5?－0.34<0，f(1.5)=1.5—.5—0.5?0.0025
>0．f(1)f(1.5)<0，取有根区间[1，1.5]．又
，
f(1)f?(1)?(－0.34)×0.84<0，而f(1.5)f?(1.5)?0.0025×0.997>0
取初始值x0=1.5．牛顿法迭代公式为
xk+1=xk－，k=0,1,2,...
当k=0时，x0=1.5，代入公式，有
x1=1.51.4973043，?x1－x0??0.002695699．
当k=1时，x1=1.4973043，代入公式，有
x2=1.49730431.49730039，?x2－x1??0.000004．
得到方程x－=0.5的根x*?1.49730039．
5. 用弦截法求下列方程x4 －3x+1=0的实根(精确到0.01)．
解 f(x)=x4－3x+1，经验算得f(0)=1>0，f(1)=－1<0，所以，取x0=0，x1=1．
弦截法得迭代格式是
，k=1,2,...
应为f(x)=x4－3x+1，有迭代公式
，
即
，k=1,2,...
当k=1时，x0=0，x1=1，代入公式，有
＝0.5，?x2－x1?=0.5．
当k=2时，x1=1，x2=0.5，代入公式，有
?0.111 111，?x3－x2?=0.388 889．
当k=3时，x3=0.111 111，x2=0.5，代入公式，有
?0.345933，
?x4－x3?=0.234 822．
当k=4时，x4=0.345 933，x3=0.111 111，代入公式，有
?0.337 946
?x5－x4?=0.007 993．
当k=5时，x5=0.337 946，x4=0.345 933，代入公式，有
?0.337 66
?x4－x3?=0.000294 822．
满足精度要求，取方程x4 －3x+1=0的根x*?0.337 66
注意：f(2)=24－3×2+1=11>0，可见在区间[1,2]内也有实根，为x*?1.30749．
6. 试用欧拉法求初值问题
＝1－xy， y?x=0=0
在x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5处的近似解．
解 由已知，h＝0.1，f(x,y)=1－xy．欧拉法的公式为
yk+1=yk+hf(xk,yk)=yk+0.1×(1－xkyk)，k=0,1,2,... (*)
当k=0时x0=0，y0=0，代入公式(*)，
y1=y0+0.1×(1－x0y0)=0+0.1×(1－0×0)＝0.1．
当k=1时x1=0.1，y1=0.1，代入公式(*)，
y2=y1+0.1×(1－x1y1)=0.1+0.1×(1－0.1×0.1)＝0.199．
当k=2时x2=0.2，y1=0.199，代入公式(*)，
y3=y2+0.1×(1－x2y2)=0.199+0.1×(1－0.2×0.199)＝0.295 0．
当k=3时x3=0.3，y3=0.2950，代入公式(*)，
y4=y3+0.1×(1－x3y3)=0.295 0+0.1×(1－0.3×0.295 0)＝0.386 2．
当k=4时x4=0.4，y4=0.3862，代入公式(*)，
y5=y4+0.1×(1－x4y4)=0.3862+0.1×(1－0.4×0.3862)＝0.470 8．
计算结果列表
xk00.10.20.30.40.5 yk00.10.1990.29500.38620.4708
7. 用改进欧拉法解初值问题
取步长h=0.2. 保留五位有效数字. 并与精确解项比较．
解 方法1. 由题设，取步长h=0.2．此时f(x,y)=10x(1－y)
欧拉预报－校正公式为：
建立本题迭代公式为：
(1) 当x0=0，y0=0，x1=0.2时，有
(2) 当x1=0.2，y1=0.2，x2=0.4时，有
(3) 当x2=0.4, y2=0.552,x3=0.6时，有
(4) 当x3=0.6, y3=0.7850,x4=0.8时，有
(5) 当x4=0.8, y4=0.8796,x5=1.0时，有
方法2．平均形式的公式：
建立本题迭代公式：
(1) 当x0=0，y0=0，x1=0.2时，有
(2) 当x1=0.2，y1=0.2，x2=0.4时，有
(3) 当x2=0.4, y2=0.552,x3=0.6时，有
(4) 当x3=0.6, y3=0.784,x4=0.8时，有
(5) 当x4=0.8, y4=0.8796,x5=1.0时，有
两种方法的结果基本一致．
8. 取步长h=0.2, 用四阶龙格?库塔法求解初值问题
解 应为f(x,y)=，h=0.2，四阶龙格?库塔法解初值问题的公式为
yk+1=yk+ (*)
其中
，
，
，，
即计算公式为：
，，，，
当k=0时，x0=0，y0=1，h=0.2，先求?k(k=1,2,3,4)，再代入(*)式．有
，?3.545 45，
?3.69421，
?4.34711
于是， y1=y0+
?1.72755
当k=1时，x1=0.2，y1=1.72755，h=0.2，先求?k(k=1,2,3,4)，再代入(*)式．有
?4.31888，
?4.983 32，
?5.136 665，
?5.903 31
于是， y2=y1+
?2.742 95
当k=2时，x2=0.4，y2=2.742 95，h=0.2，先求?k(k=1,2,3,4)，再代入(*)式．有
=5.877 75，
=6.661 45，
?6.818 19，
=7.699 85
于是， y3=y2+
?4.094 18
当k=3时，x3=0.6，y3=4.094 18，h=0.2，先求?k(k=1,2,3,4)，再代入(*)式．有
?7.676 59，
?8.579 72，
?8.739 09，
=8.280 15
于是， y4=y3+
?5.780 66
当k=4时，x4=0.8，y4=5.780 66，h=0.2，先求?k(k=1,2,3,4)，再代入(*)式．有
=9.634 43，
=10.648 58，
?10.868 89，
=11.931 66
于是， y5=y4+
?7.921 89
计算结果列在表中
xk00.20.40.60.81.0 yk11.727 552.742 954.094 185.780 667.921 89
四、证明题
1. 试证明用二分法求方程f(x)=0在(2，3)内的实根至少要二分有根区间(2，3)9次，才能达到精确度为0.001的要求，(已知f(2)f(3)<0)．
证明 由已知条件可知，有根区间是[2，3]，误差项?=0.001，求区间[2，3]内的方程f(x)=0的根，需要二分有根区间次数为
取n=9．
所以，至少要二分区间9次．
2. 试证明梯形公式(1.6)是以(xk,f(xk,yk)),(xk+1,f(xk+1,yk+1)为插值节点的一次插值公式去代替积分
中的被积函数f(x,y(x))积分所得．
证明 过点(xk,f(xk,yk)),(xk+1,f(xk+1,yk+1))的线性插值多项式为
将其代入积分式，有
＝
＝
＝
＝
这正是第14章14.1节梯形公式(1.6)．
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