【数学思想与方法】01专题讨论96 答案
01 专题讨论
讨论题目为数学思想的价值或作用，使学生认识数学思想对数学学科的形成所起的作用，以及它对其他学科、对丰富人类的思想文化的贡献。需要学生在学习完第一章至第四章之后完成本次活动。要求每位学生有效回帖不少于8幅。（100分）
标准答案：
数学认识的一般性与特殊性
数学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发展过程遵循实践--认识--再实践的认识路线。但是，数学对象（量）的特殊性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认识方法和理论形式。由此产生数学认识论的特有问题。 数学认识的一般性 认识论是研究认识的本质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。数学作为对客观事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践--认识--再实践这一辩证唯物论的认识路线。 事实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。最古老的算术和几何学产生于日常生活、生产中的计数和测量，这已是不争的历史事实。数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过程中，通过试探或试验，发现或创造出解决新问题的具体方法，归纳或概括出新的公式、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后，便形成数学研究的新问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套经验知识。这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分支学科的产生，例如，17世纪的微积分。由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。 这时的数学经验知识是零散的感性认识，概念尚不精确，有时甚至导致推理上的矛盾。因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升为有条理的、系统的理论知识。 数学知识由经验知识形态上升为理论形态后，数学家又把它应用于实践，解决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展。同时，社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想，产生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。由此可见，数学作为一种认识，与其他科学认识一样，遵循着感性具体--理性抽象--理性具体的辩证认识过程。这就是数学认识的一般性。
美国心理学家布鲁纳认为，"不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．"所谓基本结构就是指"基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．""学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．"数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义．
１．数学思想方法教学的心理学意义
第一，"懂得基本原理使得学科更容易理解"．心理学认为"由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．"当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识"具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，"即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容．
第二，有利于记忆．布鲁纳认为，"除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．""学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．"由此可见，数学思想、方法作为数学学科的"一般原理"，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生"不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．"
４．数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：
操作--掌握--领悟
对此模式作如下说明：（１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；（２）"操作"是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．"操作"是数学思想、方法教学的基础；（３）"掌握"是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；（４）"领悟"是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；（５）数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些．
数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓。它是一门边缘学科，与哲学、逻辑学、心理学等学科有着密切的联系；它也是一门新兴学科，当代美国数学教育家G·波利亚与我国著名数学家徐利治等是这方面研究的杰出代表人物。
一、小学数学思想方法的内涵
"思想"即"观念"，即社会存在于意识中的反映。数学思想是人们对数学研究的统一的本质性的认识，是对数学规律的理性认识。
"方法"指对待现实的方式。所谓"法"指的是一种"标准"和"规则"，数学方法是指解决数学问题的策略、途径和步骤。
数学思想和数学方法有着密切的联系，因为思想是对事物或规律的认识，方法则是认识事物或规律的过程和策略。一些内容，从某一侧面视为数学思想，从另一侧面又可视为数学方法，要严格区分有时也有困难。比如化归思想，它的具体就是化归方法，方法的内核则应为思想。"小学数学思想方法"是在小学数学中运用的研究问题的思想和方法。由于小学数学是最基础的数学知识，其中蕴含的思想和方法很难截然分开。因此，我们将小学数学思想方法作为一个整体概念。研究小学数学思想方法，就是对小学数学的知识结构有着本质性的认识，从方法论的角度来研究小学数学中分析问题、思考问题的方法。
小学数学思想方法按研究层次不同可作如下分类：（1）哲学的（包括逻辑的）思想方法：如分析法、综合法、演绎法、归纳法、类比法等；（2）科学的思想方法：如试验法、图表法、假设法等；（3）数学的思想方法：如化归法、递推法、列举筛选法等。
按其表现形式不同又可作如下分类：（1）概念型的思想方法：如集合思想、函数思想、统计思想、极限思想及方程思想等；（2）指导型的思想方法：如公理化思想、模型化思想、符号化思想、化归思想等；（3）一般性的思想方法：如对应思想、特殊化思想、分类思想、归纳、类比与联想等；（4）适用特定范围的具体数学方法：如割补法、待定系数法等。
二、学习和掌握数学思想方法的意义
1．有利于深刻地理解数学的内容和知识体系数学知识是数学活动的结果，数学思想方法是研究数学的方法与进行教学活动的方法，只有掌握了隐含在知识体系中的思想方法，才能从整体上深刻理解数学，正确地运用数学。
比如"乘数是三位数的笔算乘法"（人教版第七册教材第52～53页）中蕴含的思想方法如下表所示：
上例表明，要从数学知识内部的体系结构去研究数学思想方法，找到数学发现与创造的原理和手段，寻求解决问题的方法与途径，这样才能使我们深刻地理解数学的内容与体系。
2．有利于提高学生的数学素质
数学素质不仅局限于逻辑推理能力，而且包括知识观念层面、创造能力层面、思维品质层面与科学语言层面，简言之即数学意识、问题解决、逻辑推理与数学交流这四个方面。掌握数学思想方法能帮助学生提高数学素质，这是因为数学知识面广量大，是无论如何也学不完的，但思想方法仅是有限的几十种，如能掌握，则终生受用。因此，在数学教学中要把过程教学放在首位，充分揭示知识的发生过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的抽象概括过程，使学生学会正确的思维方法，促进他们数学素质的提高与数学能力的发展。
3．有利于对学生进行美育的渗透和辩证唯物主义的启蒙教育
数学美的主要特征是它的简洁性、有序性、对称性和统一性。加强数学思想方法的教学有利于对学生进行美育的渗透。比如符号化思想，表现了数学的简洁美；综合法与分析法体现了数学的有序美；数形结合思想体现了数学的统一美。教师要善于把握数学思想方法中蕴含的美育因素，深入挖掘，精心提炼，相机渗透。
数学思想方法的教学有利于对学生进行辩证唯物主义启蒙教育。比如"圆的面积"教学过程中，采用"化圆为方"、"变曲为直"的极限思想。在"观察有限分割"的基础上，"想象无限细分"，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了知识，而且进行了"常与变"、"曲与直"、"匀与不匀"、"近似与精确"、"有限与无限"、"量变与质变"的辩证唯物主义启蒙教育。
4．有利于教师以较高的观点分析和处理小学教材
在小学数学教材中有两条线索：一是数学知识，它是显性的；二是思想方法，它是隐含的，是无形潜在的。教师如果能从外显的知识中把握其中蕴含的数学思想方法，就能从整体上、本质上去理解教材，以较高的观点分析和处理教材，也才能明确运用数学思想方法展开知识的形成过程，科学地、灵活地设计教学方法，以提高课堂教学效率，如右表教例。
总之，数学思想方法是构成数学教师业务素质的关键因素之一，教师水平的高低一定程度上反映在对数学思想方法的领悟程度上。教师只有努力提高自身数学思想方法的素养，才能帮助学生科学地思考问题，有效地提高学生的数学素质。
一、对中学数学思想的基本认识 "数学思想"作为数学课程论的一个重要概念,我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识.关于这个概念的内涵,我们认为:数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识.这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家;而认识的客体,则包括数学科学的对象及其特性,研究途径与方法的特点,研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用,内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等.可见,这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶,它们蕴涵于数学材料之中,有着丰富的内容.
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为"数学思想方法"。 数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合； 函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的......等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了"联系和变化"的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出："解题就是把要解题转化为已经解过的题"。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式...等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 分类讨论 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是"不漏不重"。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 数形结合 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过："数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。"数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。"数"与"形"是一对矛盾，宇宙间万物无不是"数"和"形"的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。
数学思想方法是数学的灵魂，是数学的本质。数学思想方法的教育价值主要体现在：是学生形成良好数学认知结构的前提；是培养学生数学能力的根本途径；是培养学生创新能力的关键。数学思想方法教学的教育功能主要体现在：数学思想方法的教学，有利于学生形成对数学科学的深刻理解和整体认识；有利于学生心理品质的培养；有利于培养学生正确的世界观。因此，在数学教学中，教师要提高对数学思想方法教育价值的认识，加强数学思想方法的教学，从而提高数学教育的质量。
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