【数学思想与方法】02任务专题讨论95 答案
讨论题目为抽象与概括、猜想与反驳、演绎与化归在教学中的应用，使学生认识数学方法对于数学教学的重要性。需要学生在学习完第五章至第七章之后完成本次活动。要求每位学生有效回帖不少于8幅。（100分）
标准答案：
猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说"真正的数学家--常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。"因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。那么，教学中如何渗透猜想验证的思想方法呢？现举例说明如下：
课例1："长方形面积计算公式"教学片断
1、操作感知。
多媒体演示：长方形平面图由图①逐渐变成图②（长方形的宽不变长扩大）；图①逐渐变成图③（长方形的长不变宽扩大）；由图①逐渐变成图④（长方形的长扩大，长方形的宽也扩大）。
图①
图③ 图④
图②
学生观察思考：①长方形的面积发生了什么变化？②从演示中你觉得长方形的面积与它的什么有关？
初步感知：长方形的面积与它的长和宽有关。
学生拿出课前准备好的24个1平方厘米的正方形纸片，教师提供实验记录表格如下（每人一张）：
图形 长（厘米） 宽（厘米） 面 积（平方厘米）
长
方
形
让学生用这24张纸片拼成尽可能多的长方形，拼好后逐一按长、宽、面积等数据填在记录表格中。
2、提出假设。
引导学生观察表格中的数据，独立思考：①这些图形的长和宽各是多少厘米？②这些图形的面积是多少平方厘米？③你发现每个图形的长、宽和面积之间有什么关系？
交流讨论，形成初步猜想：长方形的面积=长×宽。
3、验证规律。
教师适时引导：是不是所有长方形的面积都可以用"长×宽"来计算呢？能举例来验证你们的发现是正确的吗？要想知道我们得出的结论是否正确，可以用什么方法来验证？（算一算，摆一摆）
出示一个长5厘米、宽3厘米的长方形，让学生运用猜测的方法算一算，再用1平方厘米小正方形摆一摆，看看面积是多少，结果是否相符。
学生分小组各举一例再次验证。
4、归纳结论。
学生互相交流讨论长方形面积计算公式是怎样的，然后概括出公式：长方形面积=长×宽。
思考：在面积公式中，"长×宽"实际上表示的是什么？
学生画出拼摆的长方形平面图，并隐去面积单位，想象长方形每排有几个面积单位，有几排，说说一共有多少个面积单位。
课例2："比的基本性质"教学片断
1、创境感知。
（1）回忆除法的商不变性质和分数的基本性质。
（2）说说比同除法、分数的关系。
（3）求出3∶4、6∶8、9∶12三个比的比值，得出3∶4=6∶8=9∶12。
学生观察、分析"3∶4=6∶8=9∶12"前项、后项的变化，有什么发现？得出：比的前项、后项同时乘2或3，比值不变；比的前项、后项同时除以2或3，比值不变。
2、提出假设。
引导学生思考：根据刚才的发现，联系分数的基本性质和除法商不变的性质，想一想：两个比值相等的比之间有怎样的性质和规律？
学生交流汇报，形成猜想：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数，比值不变。
3、验证规律。
是不是所有的比都有这样的变化规律？你能想办法验证吗？学生验证后，交流各自的想法。
生A：我根据比与除法、分数的关系，认为比应该有类似的性质。
生B：我把比写成分数的形式，根据分数的基本性质发现比确实有这一规律。
生C：我应用刚才的猜想举例，然后求出两个比的比值，发现猜想是正确的。
生D：我将比写成除法的形式，根据除法商不变的性质推导出比确实有这样的性质。
4、归纳结论。
谁能用一句话概括比的基本性质？"相同的数"是不是什么数都可以？为什么？然后师生共同归纳比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。接着让学生举例说明这个性质。
上述两个课例中，学生通过感知--假设--验证--归纳，经历知识的形成过程，不仅获得了数学结论，更重要的是逐步学会了获得数学结论的思想方法--猜想验证，提高了主动探索、获取知识的能力，增强了学好数学的信心。
一、感知--播洒思想方法的种子
感知是儿童认识的开始，没有正确的感知就不可能认识事物的本质和规律。心理学研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。因此，教学中要给学生提供充足的能揭示规律的感性材料，引导学生动手做、动脑想、动口说、动眼看，使学生在做一做、算一算、想一想、说一说、看一看中获得丰富的感性认识，建立清晰的表象，搭建起知识结构物化与内化的桥梁，促使学生形成初步的猜想。如教学"三角形的内角和"可设计以下几个环节：
1、学生随意画三个不同的三角形（锐角、直角、钝角三角形各一个）。
2、学生量一量所画三角形每个内角的度数，填入表中。
三角形 ∠1 ∠2 ∠3 三个内角度数的和
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
3、学生报出自己所画三角形内角的度数和。师板书180°、179°、181°...，然后让学生猜一猜三角形的三个内角度数的和大概是多少度。
这样，通过画→量→填→算→说,学生初步感知了三角形的内角和。至此，猜想三角形内角和已是水到渠成。
二、假设--展开思想方法的翅膀
假设就是学生对所感知的事物做出初步的未经证实的判断，它是学生获取数学知识过程中的重要环节。波利亚曾说："一个孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己与该题连在一起，他们会急切地想知道他的猜想正确与否。于是，便主动地关心这道题，关心课堂上的进展。"因此，在学生大量感知，形成丰富的表象后，教师要给予学生充分的时间和空间，让学生根据自己的感知，用自己的思维方式自由地观察思考、分析推理，逐步从感性上升到理性，然后相互交流讨论，形成合理的假设。如教学"分数化有限小数"时，先提供一组分数：、、、、、、，让学生算一算、看一看、想一想，然后猜一猜：一个分数能否化成有限小数，与这个分数的哪部分有关？可能有怎样的关系？这样经过一番或对或错的猜测后，学生形成共识：一个分数，如果分母中只含有质因数2和5，这个分数就能化成有限小数。但这种共识还只是一种假设，不能作为最后结论拿来应用，必须进行进一步的验证，以检验假设是否具有普遍性。
三、验证--把握思想方法的方向
小学数学一般不要求作严格论证。因此，对于学生的假设是否具有普遍性，可以从学生以有的生活经验和思维水平入手，提供足够的探索时空，让学生进行独立的、小组合作式的探索活动，亲身经历尝试、探索、验证过程，获得验证所学知识的能力。如"三角形的内角和"的教学，在学生提出初步的猜想后，引导学生在操作探索验证：
1、折一折：根据书中实验，分别折叠三种不同三角形，得到三角形的内角和是180°。
2、拼一拼：分别把每种三角形的三个角剪下来，拼在一起成为一个平角，得到三角形的内角和是180°。
3、算一算：把正方形的纸片沿对角线分成两个完全相同的三角形，由正方形4个角是90°×4=360°，推算出其中一个三角形内角和是180°。
值得注意的是，学生猜想出现错误时，教师不要立即给予否定或提醒，而应适时引导学生举例验证，必要时教师可举出反例，让学生在验证中发现猜想错误，调整思考方向，重新提出假设。
四、归纳--收获思想方法的果实
验证之后，教师要不失时机地引导学生说一说、议一议，相互交流，达成共识。在此基础上，让学生理一理，准确地归纳概括出知识结论。归纳时要引导学生深刻立理解结论的普遍性和结论中的每一句话。如归纳"比的基本性质"时，让学生思考讨论："相同的数"是不是什么数都可以？为什么？在学生准确概括出比的基本性质后，再让学生举例，说明这个性质，然后引导学生应用这个性质。这样，不但加深了学生对知识的理解，进一步巩固和掌握知识，而且培养了学生解决实际问题的能力。
牛顿说过："没有大胆的猜测，就作不出伟大的发现。" 布鲁纳也认为："学习者在一定的问题情境中，对学习材料的亲身体验和发现的过程，才是学习者最有价值的东西。"实践证明，在教学中重视猜想验证思想方法的渗透，有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法，无疑会让学生在心理上产生一种极大的满足和喜悦，增强了学生学好数学的信心，激发了学生学习的主动性和参与性，从而更好地发展学生的创造性思维，提高学生自主学习能力和分析解决问题的能力。
数学知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。数学知识是一条明线，它被明明白白地写在教材里，而数学思想方法是一条暗线，需要教师去挖掘、提炼，并贯彻到教学过程中。常见的数学思想方法包括：抽象与概括；猜想与反驳；演绎与化归；计算与算法；应用与建模；分类方法；数形结合法；特殊化方法等。与数学知识相比较，数学思想方法具有更高的概括性和包容性，更重要的是数学思想方法对学生的成长和发展影响重大，成为素质教育的一个重要内容。
建构主义的数学教学观认为：教师应当成为学生学习活动的促进者；教师应当深入地了解学生的真实的思维活动；教师必须高度重视对于学生错误的纠正。因此，在新课改的大背景下，我们必须大力提倡和加强数学思想方法的教学。本讲座重点谈一谈特殊化方法在数学教学中的应用。
这是著名科学哲学家卡尔·波普尔的著作。书中提出了判断理论（命题）是否科学的标准是：Falsifiability（经常被译成"可证伪性"）。 "爱因斯坦的引力理论显然满足可证伪性的标准。即使我们当时的测量仪器不容许我们十分有把握地对检验的结果下断语，但是驳倒这种理论的可能性显然是存在的。 占星术经受不住这种检验。占星术士对他们所相信的确实证据极端重视和极端迷信，以致他们对任何不利的证据都完全无动于衷。还有，他们把自己的解释和预言都讲得相当含糊，以致任何有可能驳倒他们理论的事情(假如理论和预言说得更明确一点的话)，他们都能解释得通。为了逃避证伪，他们破坏了自己理论的可检验性。把预言讲得非常含糊，使预言简直不会失败，这是典型的占卜者伎俩；使预言变得无从反驳。" 在近年来中国大陆兴起的关于伪科学讨论中，《猜想与反驳》再次成为热点。该问题的焦点转向了中医科学性的问题。何祚庥院士认为：英国哲学家玻普（就是卡尔·波普尔）有一个关于伪科学的定义，认为凡是不具有可证伪性的"科学理论"，即是伪科学。人们在认识客观真理过程中，会不可避免地出现不少错误，有错改错，这不是什么不光彩的事情。但是一些人如果把错误的东西说成是正确的科学的，向社会公众推荐的话，就是宣传伪科学。聂文涛则认为：如果被证伪则是错误的理论；区分理论是否符合科学理论表达方式应该是另一条原则，那就是理论的表述者必须清楚其表述内容的全部含义。
猜想与反驳。猜想是人们根据一定的经验材料和已知事实对数学问题作出的推测性判断，可能为真，也可能为假。关于数学命题的猜想又称为数学猜想。归纳猜想和类比猜想是数学猜想的两种主要类型。对于猜想得到的命题或者经过演绎证明确认为真命题，或者举出反例判断其为假命题。在数学中，反驳通常都是寻找一个符合猜想条件的特例，而这个特例恰恰与猜想的结论不符，这个特例就称为此猜想的反例。用一个反例作为论据否定猜想的方法称为反例反驳。它是用特殊否定一般的一种思维形式。
抽象概括方法：抽象与概括是数学思想方法最基本的内容之一。抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性形成科学概念，从而把握事物的本质和规律。概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象的一个属概念。例如有平行四边形、菱形的图形概念概括出四边形概念。抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。
一、 对数学思想与方法的理解 如果有人问，自走上讲台，教了这么多年的中小学数学，对你影响最深的观念是什么？我会毫不犹豫地把下面的这段话搬出来： 什么是教育? 教育就是一个人学了很多的东西，到后来有的都忘了，这时留在他脑袋里面的就是教育。 当然，这话不是我说的，这是几年前我在听我国著名数学教育家邱学华老师所作的《二十一世纪的课怎样上》的讲座时听来的。不过他说这话也不是他说的，是一位比他还要伟大的伟人说的，具体是哪位伟人说的，他说他也记不清了，后来我无意中在一本书上翻到，这一观点源自于爱因斯坦，爱因斯坦说："当学生把学校里学到的东西全都忘掉之后，所剩下来的才是素质。" 对这一观点，当初我一直都想不通，既然把学到的东西都忘掉了，那还剩下什么呢？不就是兜里一张文凭，脑袋一片空白吗？后来随着阅历的增长和不断的教学总结与反思，我才逐渐逐渐地理解了这句话的深刻含义。就拿数学来说吧，一个人从小学到中学到大学，学了很多很多的数学知识，但出身社会以后，不要说没有从事数学工作，就是我们这些天天与数学打交道的数学教师，还有几个人记得微积分的公式？又有几个人记得马鞍面、帕斯卡蜗线的性质？那么是不是说我们就没有受到过数学教育呢？显然不是，这时我们所遗忘的只是作为知识的数学，而留下的却是让我们受益终身的数学的思想与方法。 比如作为反映一元次方程根与系数关系的韦达定理，也许再过若干年，我们已经记不清了，但他留给我们的整体思想、优化思想却潜移默化地影响着我们的工作和生活。办一家企业，在既定条件下，我们总得想办法降低成本，提高效益，这不就是优化思想的体现吗？我们也许不记得黄金分割是怎么证明的了，但在生活中我们却经常要用到0.618优选法。我们在操作电脑，对一幅BMP的二进制位图进行放大时，它将变得模糊不清，而对一段FLASH动画无论放大或缩小都不会失真，这就是数形结合带给我们的好处，因为FLASH动画是基于数学公式的一种矢量图。 再比如我们学习了"减去一个数等于加上一个数相反数"，"除以一个数等于乘以这个数的倒数"。根据这一理论我们可以将"加"与"减"这一对对立的运算统一为"加"，"乘"与"除"这一对对立的运算统一为"乘"，这就是数学里面的对立与统一的思想，而这一思想在日常生活中又何处不在呢？两夫妻吵架，旁边一个陌生人也掺和进来，如果具有"对立与统一"思想的夫妻，可能会马上矛头一转，大喝一声："我们吵架关你什么事？"如果再具有"转化"的思想，再乘机对对方"甜言蜜语"几句，这样夫妻可能很快"化干戈为玉帛"重归于好，而且在此基础上建立起来的感情一定会更深厚、更牢固。 古希腊的柏拉图在他的哲学学校的校门口挂着一个醒目的招牌："不懂数学者谢绝入内"，英国的律师，美国的西点军校至今都要求他们的学员要学高深的数学，这倒并不是因为在他们的的工作中要用到多么深奥的数学知识，而是更看重了数学的思想与方法对他们未来工作所产生的影响。 这里需解释一下，数学思想与数学方法是两个内涵不同但又相互关联的概念，比如"换元"从观念层次或者说从一个人思考问题的思维方向来说，是一种数学思想，但如果把它作为解决问题的一种手段，比如用它去解一个高次方程或无理方程，则又是一种数学方法。我们常把二者合在一起，统称为"数学思想方法"。 作为一些重要的数学思想与方法，在现行小学数学教材中都涉及到了，而且在中学的数学教学大纲中还提出了明确而具体的教学要求，但由于现行教材主要是以知识结构作为编排体系的，数学思想与方法散见于整个教材之中，这就决定了数学思想与方法的教学主观随意性很大，其教学效果主要依赖于教师对数学思想与方法的理解程度，学生学到的许多知识其实并未融会贯通，往往是只有知识的"躯体"而无思想的"灵魂"，这恐怕也是中国学生缺乏创造力的原因之一。新的《课程标准》则将"反映未来公民所必需的数学思想与方法"作为首要条件，来选择和编排教学内容，数学思想与方法的渗透从小学一年级开始就有明确的要求了，比如在《标准》中就列举了这样一个案例： 计算：2+1=？ 在上例所提供的问题情境中，有3个小孩在玩耍，背景还有3棵树。这3个小孩可以根据游戏中的角色分工或者性别分为两类，这3棵树也可以根据所处的位置或大小分为两类。因此，这个问题情境就蕴含分类的数学思想，学生可以从不同的角度对算式2＋1＝3的实际意义作出解释。通过这种融入数学思想与方法的教学，一定可以使学生更好地体会加法运算的意义。学生学到的2+1才不是静态的2+1，而是融会贯通的2+1，是动态的2+1，有创造力的2+1！ 在《标准》的"基本理念"中明确指出：数学为其它科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是人类的一种文化，它的内容、思想方法和语言是现代文明的重要组成部份。在"课程目标"中第一条就写到：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。 1、人人学有价值的数学； 2、人人获得必需的数学； 3、不同的人在数学上得到不同的发展。 说到这里我又想起我曾经教过的一个学生，叫蒲凤莲，是个女孩子，在她小学刚毕业时，父亲便抛弃了她们母女俩另觅高枝了，对此"深仇大恨"她倒显得"若无其事"，更主要的是在数学上她总是让我"爱也不是，恨也不是"，说"爱"吧，是因为她在几何上有着特别的灵气，整个初中阶段的平面几何包括必学内容和选学内容，几乎没有难得往她的，说"恨"吧，是因为她对"数"与"式"一类的内容又有着严重的厌烦与抵触情绪。 （一）、既无实用价值，又不体现现代数学发展方向的内容应该删去，也必须删去。 我国的现行数学教育体制出现了一个令人尴尬的现象：现行中小学数学内容，不少方面学生掌握不了，而且学了没用，但考试指挥棒迫使他们非学不可；而很多既有实用功能，又有智力价值的内容，却又学不到。这主要表现在，长期以来我国中小学数学课程一直在前苏联"学科中心主义"课程模式的笼罩下，固守着他们早已改变了的传统的数学知识体系，学生在校学习的仅仅是１６、１７世纪以前的数学。随机事件、抽样、数据统计与处理、规划与运筹、决策分析、优化思想以及数学建模等一系列作为现代社会的公民所必需的数学修养的内容在数学课堂上几乎无处寻觅。同时，迄今为止我国小学、初中数学教学大纲中，仍然以计算（运算）能力、逻辑推理能力及空间观念为核心。事实上，信息社会的到来，对公民计算能力的要求已大大降低；逻辑推理能力则因局限于以平面几何为载体的三段论训练模式为重点，而陷于困境；"空间观念"一词虽然提得很好，但小学、初中的数学课本中，除了几个简单几何体的体积、表面积计算外，几乎没有任何别的三维空间的内容。而现代社会所必需的与数学的现代发展趋势一致的数学建模能力以及估算意识、应用意识、创造意识都被拒之于教科书之外。这一现象集中反映了我国现行数学教育体制的弊端，说明当前我国的数学教育状况严重滞后于社会发展，必须寻求新的教育改革思路。为此，《课程标准》在基本理念中首先提出了大众数学的思想，即：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。 （二）、加强数学思想与方法的教学，是实现"大众数学"理念的重要保证。 我们所说的有价值的数学，包括显性和隐性两个方面，显性的数学包括重要的数学事实、基本的数学概念和必要的处理数学问题的技能，隐性数学的一个重要方面就是具有数学元认知作用和各种思想意识。 大众数学意义下的《课程标准》并没有局限于对现行教学大纲的增加或删减，而是寻求了一个新的思路，这个思路就是数学思想与方法，因为： 从哲学上讲：人的素质中最为核心的是它的世界观和方法论； 从数学哲学上讲：数学科学中最富有生命力，最具统摄力的是数学观和数学方法论，即数学思想方法； 从数学教育哲学上讲：决定一个学生数学修养的高低，最为重要的标志是看他如何看待数学，如何理解数学，以及能否运用数学的思想方法去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活中的问题。事实上，不同的人有不同的数学观，不同的数学观会导致不同的学习或工作行为。如果一个学生产生了数学艰深难懂，枯燥无味，高不可攀的思想，必然会导致他回避数学，回避数学教师，不接触数学读物的自闭行为，如果一个数学教师认为数学就是公式、法则、记忆、练习，那么他的课堂必然是满堂灌、注入式。 总之，思想是对知识融会贯通的理解和升华，有思想的知识才是活知识，有创造力的知识。知识是定型的，静态的，而思想是发展的，动态的，数学思想可以在数学知识的范畴以外起作用，能动地认识新的数学对象，建立新的数学模型，因此它更具有内聚力和开发性。 三、"大众数学"所体现的主要数学思想与方法 （课件演示，文字略） 1、数的意识 （1）用数来表达和交流信息 例（略） （2）估算 例（略） 2、图形直观和空间观念 例（略） 3、概率统计思想 例（略） 4、优化思想 例（略） 5、函数与方程 例（略） 6、模型化方法 例（略） 7、推理意识 8、计算机意识 当然，课程标准所体现的数学思想与方法除了这八种之外，还有集合的思想、极限的思想、换元的思想、数形结合的思想等...... 总之，数学知识就犹如一个人的躯体，数学思想方法就犹如一个人的灵魂，我们既要关心这个"躯体"的健康成长，更要注重"灵魂"的塑造，只有知识的躯体而无思想的灵魂，必然是死的知识，没有生命力和创造力的知识。时代呼唤我们提高学生的数学素养，而无思想的数学教育，谈何"素养"？时代呼唤我们进行素质教育，而无思想的数学教育，还有素质可言吗？时代呼唤我们培养创新人才，而无思想的数学教育，创新的源泉来自何方？
古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。一则由于小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的。因此，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。笔者认为，以下几种数学思想方法学生不但容易接受，而且对学生数学能力的提高有很好的促进作用。1.化归思想2.数形结合思想3.变换思想4.组合思想
一、化归思想
"化归"就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 "未知"的问题"已知化"，"复杂"的问题"简单化"．化归思想是解决问题的常见思想方法．
二、分类讨论思想
有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．
三、整体思想
与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．
四、数形结合思想
数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法．
由于数学思想方法的内在性，给学生的理解和老师的教学都带来了一定的难度，因而在平时的教学中要讲究一定的策略，才会取得事半功倍的效果。 1、各个击破的策略。数学思想方法与具体的数学知识是一个有机整体，它们相互联系，互相影响。大量数学知识中蕴含着丰富的数学思想和方法，具有高度的抽象性和概括性。同时，不同的章节、不同的数学知识又往往蕴含着不同的思想方法。所以在课堂教学中对隐藏在各章节数学知识背后的思想方法要及时地提炼出来，使之明朗化，要让学生明明白白地认识到这种思想方法的存在，让学生感受到这种思想方法在解题中所起的不可替代的作用，并能在类似的情形下主动地加以运用。这样才能通过对具体的知识传授这一载体来突出相应的数学思想方法的教学目的。有时在一章或一单元的教学中，涉及很多的数学思想方法，就需要教师根据教材内容有意识突出一种或几种思想方法的教学，如在不等式单元教学中将会涉及函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。 2、反复递进的策略。人们认识事物必须遵循认识的一般规律，即从个别到一般，从具体到抽象，从低级到高级，从感性到理性的螺旋式递进过程。同样学生对数学思想方法的认识也都是在反复接触、理解和运用中形成的。例如在初中讲数轴应用时，就开始初步涉及数形结合思想，学生要会借助数轴表示相反数、绝对值、比较实数的大小等，在高中讲集合运算时，要求学生用数轴求出不等式解集的交集、并集与补集等，这样让学生逐步形成借助于图形解决代数问题的理念，后来不断地通过对基本函数图象及其变换，平面解析几何等有关知识的学习，进一步加深了对数形结合思想的理解和应用，从而对数形结合思想方法的认识得到不断升华提高。又如分类讨论的思想，几乎每一章都会涉及到。因此在平时的教学中要注意到这种反复性，同一种思想方法在这一章出现了，在下一章可能还会出现，教师就要有意识让学生在这种反复接触、理解、运用、体验中不断加深对这种思想方法的认识和掌握。 3、分层渐进的策略。学生对数学思想方法的掌握一般要经过三个层次：感知、模仿、灵活运用。第一层次是对数学思想方法的感性认识，即学生对教师在课堂上解题过程中所使用的思想方法和策略有所认识，能够初步理解，能够体会到这种思想和策略给解题带来的变化，也会在解题后概括总结出来。 第二层次就是学会模仿，即学生在理解了教师所讲解的思想和方法后，套用教师的做法去完成类似的题目，学会模仿运用数学思想。第三层次是对数学思想方法的灵活运用，学生能根据具体的数学问题，恰当运用某种思想方法进行解决。可见，对数学思想方法的教学不可能作到一步到位，而是一个循序渐进的过程，它是一个理解--运用--再理解--再运用......不断提高的过程。因此在数学课堂教学中教师要按照"逐步理解、不断重复、自觉应用"的顺序来进行数学思想方法的教学。 三、高中数学中要加强哪些数学思想方法 高中数学中所蕴含的数学思想方法有很多，要让学生把所有的思想方法都掌握到是不现实的。因此，我们只能根据学生的接受能力和现在高考的要求，适当地选取一些重要的有代表性的思想方法加以重点讲解和突破。根据本人多年的教学体会，我觉得可以对如下的数学思想方法加以重点关注。 1、函数与方程思想。函数与方程是高中数学的重要组成部分，是高中代数的主线，它体系完整、内容丰富、应用广泛。在历年高考试题中，对函数与方程及其思想、方法的考查，遍布于代数、三角、几何以及各类题型（选择题、填空题、解答题）的题目之中。函数与方程的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与方程思想的教学，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的......等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 2、分类讨论思想。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 3、数形结合思想。数形结合是一个数学思想方法，包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过："数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。"数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。"数"与"形"是一对矛盾，宇宙间万物无不是"数"和"形"的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 4、转化与化归思想。转化与化归是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，转化与化归思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出："解题就是把要解题转化为已经解过的题"。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
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