【数学思想与方法】04任务专题讨论97 答案
讨论题目为数学建模、分类、数形结合、特殊化方法在教学中的应用，使学生认识数学方法对于数学教学的重要性。需要学生在学习完第八章至第十章之后完成本次活动。要求每位学生有效回帖不少于8幅。（100分）
标准答案：
布鲁纳的"发现学习"理论认为：学习包含三个几何同时发生的过程：（1）新知的获得（2）知识的改造（3）检查知识是否恰当和充足。因此，利用特殊化方法解题时必须注意：
1、特殊化的选择必须得当。一方面，所选择的特殊情况应能说明问题；另一方面，所选择的特殊情况应便于计算或讨论。
2、特殊化是观察一般情况的一个窗口，但是，不能代替一般情况的研究，该证明的还必须证明，该阐述的还必须阐述。
3、在许多情况下，特殊化可以对问题起到一定作用，但它也不是万能的，有时候，研究特殊情况所得到的结果对解决一般情况下的问题并无多少帮助。因此，什么时候可以用、如何用、什么时候不能用该方法，必须根据具体情况来确定。
1、 特殊化的含义：
所谓特殊化，是指在研究某一问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的子集的思想方法。
例如：在研究多边形问题时，我们从正多边形转化为专门考察正n边形，还可以从正n边形转化为专门考察正三角形，由此得到一系列的定理和公式。这里涉及到两种特殊化方法。从多边形到正多边形，我们引进了边与角的限制，即多边形的所有边和角相等，这是一种特殊化方式。从正n边形到正三角形，我们用了一个特定的对象代替了可变的对象，即将变数n换成了定数3，这是另一种特殊化方式。
特殊化的作用之一在于：当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有一个初步的了解。
特殊化的作用之二在于：事物的共性存在于个性之中，对个别特殊情况的讨论，常常可以突出问题的关键，有助于揭示问题的本质。
数学教育家波利亚曾经举过这样一个例子：两人用同样大小的硬币，轮流放置于一个长方形台面上，不允许互相重叠，谁放最后一枚谁就获胜。现在的问题是先放的人胜还是后放的人胜呢？后来，有人去请教一个著名的数学家，数学家沉思片刻说：问题中既然没有指明台面的大小，不妨只考虑一种特殊情况：即台面充分小，以至于只能放下一枚硬币，这样的话，先放的人显然获胜。事实上，对于熟悉中心对称的人来说，结论是完全一致的。这个例子充分体现了特殊化的思想方法。
数和形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面，是其数量关系和空间形式之间的辨证统一。在解决数学问题时，若能把两者结合起来，则对问题的解决可起到事半功倍的作用。 "数"与"形"是数学研究中两类不同的基本对象，"数"是"形"的抽象表现，而"形"又是"数"的直观表现。"形"蕴藏着反映图形的数量关系，反之，"数"量关系又常可以通过图形的性质反映出来。在数学问题的研究中，将"数"和"形"的问题有机结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化，使抽象思维和形象思维结合起来，从而获得理想的研究方法和解题方法数形结合方法，主要包括两个方面：以形助数和以数解形。
数形结合是数学中最重要也是最基本的思想方法之一。每种数学思想方法的形成都不是朝夕之间的，因此我将数学学科特点与学生认知特点相结合，有目的、有计划地设定数形结合思想的分层教学目标。
4.1渗透
以具体知识为载体，数形结合思想融入其中，使学生对数形结合有一些初步的感知
和直觉，帮助学生对知识的理解与记忆，培养学生有意识记与理解识记。如通过"数轴"把形和数紧密联系起来，利用"数轴"了解相反数、绝对值的概念，掌握有理数大小比较的方法，理解有理数加法、乘法的意义。如借助勾股定理在数轴上表示无理数，数轴上的点不是有理点便是无理点，所以实数与数轴上的点一一对应,更进一步通过建立直角坐标系，这种对应扩展到平面上的点与有序实数对的一一对应。又如在研究几何图形线段和角的和、差、倍、分等问题时，充分利用方程求未知线段的长度和未知角的大小。通过这些具体知识的学习和问题的解决，使学生了解数和形是两个不同的侧面，是对立的，但在一定条件下又能达到统一。
4.2揭示
以"轨迹"、"函数及其图形","解直角三角形"、"图"等内容为载体,向学生"点破阐释"、"突出地位"、"提炼概括"。使学生初步理解："坐标法"即建立坐标系，把几何问题转化为代数问题，或把代数问题转化为几何问题，即几何问题代数化，图形性质坐标化。
"代数证法"即采用代数方法通过计算证明几何命题，"三角函数法"即把几何中有些线段与角的求解间题转化为三角函数问题也是儿何中常用的方法。把形转化为数，用数量关系研究图形位置关系，使学生获得解决问题的经验，形成技能，领悟数形结合的思想。
4.3 强化
美国心理学家斯金纳提出：行为之所以发生变化，是由于强化作用，学生要获得有效的数学学习就必须通过"强化"。桑代克说：一个已形成的可变连结，若加以应用，就会变强;一个已形成的可变连结，若久不应用，就会变弱。教学要注意连续性，要经常地予以强调，并通过大量的综合而达到灵活运用。通过过强化训练，有利于学生掌握如何解决新问题的方法，再经积累、概括、总结，
数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。 数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。数形结合中的数应广义地理解为解析式、函数、复数等;其中的形，可以是点集空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，使应用的范围不断拓宽和深化。因此,由此可见，数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是多么重要。
特殊化方法，在数学教学中的应用，主要有以下几个方面：
1、用特殊值（图）解选择题。
当符合题设条件的对象或元素很多，并且结论唯一时，如果直接求解比较困难，不妨在符合条件的范围内选择一个或几个特殊的值（或图）加以考察，通过推理或计算，作出正确的判断。
例1：若A=，B为它的小数部分，则A B的值为（ ）
A 1 B C D
分析：若用二项式定理展开表达式，很难求答案，不妨用特殊值法，
令n=0,则A=，A B=2,故选(c)
2、利用特殊化探求问题结论。
某些与定值、定点、定直线有关的问题，可用特殊化将问题引向极端，舍去不确定的因素，先求出定值、定点、定直线，从而使解题方向更加明确。
例2：设A,B不同时为0，且A+B+C=0,，求证Ax+By+C=0必过一定点。
分析：先取两条特殊直线求出交点，然后，证明此交点即为所求证的定点。
证明：令A=1,B=0,则C=-1方程可以化为x-1=0 (1)
令A=0,B=1,则C=-1方程可以化为y-1=0 (2)
联列方程，求得两直线交点为（1,1）
依此坐标代入原方程得：左边=Ax+By+C=A+B+C=0=右边
故当A,B不为0，且A+B+C=0时，直线Ax+By+C=0必过一定点。
3、利用特例检验一般结论：
一个公式是否正确，可以取特例加以验证。若发现公式对特例不成立，就可肯定记忆有误。反之，公式对特例成立，并不能断定该公式就一定正确。
在解题过程中，有时需要进行冗长而复杂的计算，最终得到的结果可能不"漂亮"。当你对所得答案的正确性进行怀疑时，就可以用特例帮助检验。若对特例不成立，则计算必定有误；若对特例结果成立，虽然还不能断定计算结果一定正确，但至少可以增强我们对答案的可信程度。
例3：求 的和。
解：先待定系数 ，
解出a,b,c,拆项、计算得到：
由于结果复杂，，我们可以鼓励学生用特例n=1,2,3来进行检验。
当n=1时， 成立
当n=2时，
而也成立
上述计算对n=1,2都成立，这就增强了我们对答案的信任度。
4、利用特殊化方法探索解题思路：
问题经过特殊化处理后，能帮助我们获得该问题的某一侧面的信息，有时只要经过几次这样的特殊化后，就能帮助我们了解问题的全貌，从而找到解决问题的方法。
在求解某些较为复杂的问题时，特殊化往往能够帮助我们发现问题的关键，从而使问题更加容易解决。
当问题的答案不唯一，有多种可能时，特殊化常常能帮助我们发现这些不同情况，从而求得问题的完整答案。
在数列问题中，当我们产生一些不正确的猜想时，特殊化可以帮助我们发现其错误；在轨迹问题中，特殊化可以帮助我们了解图形的大致形状、范围；等等。
教师在数学教学活动中，要充分运用这些材料，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望。诱发学生对数学美的追求心理，从而消除对学习数学感到单调、负担和惧怕的心理，产生对数学学习的兴趣和积极追求的欲望。爱因斯坦认为：兴趣是最好的老师。培养学习数学的兴趣是克服数学学习困难的内在动力。所以，所学材料或研究对象的生动趣味有助于把学生从"要我学"转变成"我要学"的良好的学习心理，从而有可能获得最佳的教学效果。
将美感渗透融合于数学教学的过程，这种审美心理活动能启迪和推动学生数学思维活动，触发智慧的美感，使学生的聪明才智得以充分发挥。"数形结合"就能起到这方面的作用
著名数学家希尔伯特曾经说过："在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。" 希尔伯特又说："特殊化是克服数学难题最重要的杠杆之一。"这些话，深刻地揭示了特殊化的重要作用。
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